11. Площадь прямоугольного треугольника равна \(722\sqrt{3}\). Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Пусть катеты прямоугольного треугольника a и b, а угол между катетом a и гипотенузой 30°. Тогда площадь равна \(S = \frac{1}{2}ab\). Также мы знаем, что \(b = a * tg 60° = a * \sqrt{3}\). Тогда \(S = \frac{1}{2}a^2\sqrt{3} = 722\sqrt{3}\). Отсюда \(a^2 = 1444\), значит \(a = \sqrt{1444} = 38\). Тогда \(b = 38\sqrt{3}\). Катет, лежащий напротив угла 30°, равен a, то есть 38. Ответ: 38