06.9. a) Решите систему уравнений методом замены переменных: $$\begin{cases} x^2y^2 + xy = 2 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$$

Решим систему уравнений методом замены переменных: $$\begin{cases} x^2y^2 + xy = 2 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$$ Пусть xy = t. Тогда первое уравнение принимает вид: t^2 + t = 2 t^2 + t - 2 = 0 Решим квадратное уравнение относительно t: D = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 $$\sqrt{D} = 3$$ t1 = $\frac{-1 + 3}{2} = 1$ t2 = $\frac{-1 - 3}{2} = -2$ Теперь рассмотрим два случая: 1) Если xy = 1, то y = $\frac{1}{x}$. Подставим это во второе уравнение: 2x + $\frac{1}{x}$ = 3 2x^2 + 1 = 3x 2x^2 - 3x + 1 = 0 D = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1 $$\sqrt{D} = 1$$ x1 = $\frac{3 + 1}{4} = 1$ x2 = $\frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$ Если x = 1, то y = $\frac{1}{1}$ = 1 Если x = $\frac{1}{2}$, то y = $\frac{1}{\frac{1}{2}}$ = 2 2) Если xy = -2, то y = -$\frac{2}{x}$. Подставим это во второе уравнение: 2x - $\frac{2}{x}$ = 3 2x^2 - 2 = 3x 2x^2 - 3x - 2 = 0 D = (-3)^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25 $$\sqrt{D} = 5$$ x3 = $\frac{3 + 5}{4} = 2$ x4 = $\frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$ Если x = 2, то y = -$\frac{2}{2}$ = -1 Если x = -$\frac{1}{2}$, то y = -$\frac{2}{-\frac{1}{2}}$ = 4 Ответ: (1, 1), ($\frac{1}{2}$, 2), (2, -1), (-$\frac{1}{2}$, 4)