58, Задание 2: Найти корни уравнения sin²x + 5sinxcosx + 2cos²x = -1 на интервале (-π/2; 0)

Используем основное тригонометрическое тождество: -1 = -sin²x - cos²x. Тогда уравнение примет вид: sin²x + 5sinxcosx + 2cos²x = -sin²x - cos²x 2sin²x + 5sinxcosx + 3cos²x = 0 Разделим обе части на cos²x: 2tg²x + 5tgx + 3 = 0 Введём замену t = tgx 2t² + 5t + 3 = 0 Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = 5² - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1 t₁ = (-5 + √1) / (2 * 2) = (-5 + 1) / 4 = -4/4 = -1 t₂ = (-5 - √1) / (2 * 2) = (-5 - 1) / 4 = -6/4 = -3/2 Вернёмся к замене: 1) tgx = -1, тогда x = -π/4 + πn, на интервале (-π/2; 0) это x=-π/4. 2) tgx = -3/2, тогда x = arctg(-3/2) + πn, на интервале (-π/2; 0) это x = arctg(-3/2) Ответ: x = -π/4 или x = arctg(-3/2)