58, Задание 2: Найти корни уравнения 3sin²x + 3sinxcosx + 2cos²x = 1 на интервале (-π/2; 0)

Используем основное тригонометрическое тождество: 1= sin²x + cos²x. Тогда уравнение примет вид: 3sin²x + 3sinxcosx + 2cos²x = sin²x + cos²x 2sin²x + 3sinxcosx + cos²x = 0 Разделим обе части на cos²x: 2tg²x + 3tgx + 1 = 0 Введём замену t = tgx 2t² + 3t + 1 = 0 Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = 3² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1 t₁ = (-3 + √1) / (2 * 2) = (-3 + 1) / 4 = -2/4 = -1/2 t₂ = (-3 - √1) / (2 * 2) = (-3 - 1) / 4 = -4/4 = -1 Вернёмся к замене: 1) tgx = -1/2, тогда x = arctg(-1/2) + πn, на интервале (-π/2; 0) это x=arctg(-1/2) 2) tgx = -1, тогда x = -π/4 + πn, на интервале (-π/2; 0) это x=-π/4. Ответ: x = -π/4 или x = arctg(-1/2)