Задача №1 (1 вариант): Известно, что $tg \alpha = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Найдите значения трех других тригонометрических функций угла $\alpha$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, то $\alpha$ находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен. 1. Найдем котангенс: $ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$. 2. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Чтобы найти синус и косинус, нужно дополнительное соотношение. Мы знаем, что $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = -\frac{3}{4}$, следовательно $sin \alpha = -\frac{3}{4} cos \alpha$. Подставляем в основное тождество: $\left(-\frac{3}{4} cos \alpha\right)^2 + cos^2 \alpha = 1$ $\frac{9}{16} cos^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ $\frac{25}{16} cos^2 \alpha = 1$ $cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$ $cos \alpha = \pm \frac{4}{5}$. Поскольку косинус во второй четверти отрицательный, то $cos \alpha = -\frac{4}{5}$. 3. Теперь найдем синус: $sin \alpha = -\frac{3}{4} cos \alpha = -\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}$. Ответ: $ctg \alpha = -\frac{4}{3}$, $cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $sin \alpha = \frac{3}{5}$.