Задача №3 (2 вариант): Докажите тождество: $\frac{sin^4 \alpha - cos^4 \alpha}{(1 - cos \alpha)(1 + cos \alpha)} + 2ctg^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha}$.

Преобразуем левую часть выражения: $\frac{sin^4 \alpha - cos^4 \alpha}{(1 - cos \alpha)(1 + cos \alpha)} + 2ctg^2 \alpha = \frac{(sin^2 \alpha - cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)}{1 - cos^2 \alpha} + 2ctg^2 \alpha = \frac{(sin^2 \alpha - cos^2 \alpha) \cdot 1}{sin^2 \alpha} + 2ctg^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha - cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} + 2ctg^2 \alpha = 1 - \frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} + 2ctg^2 \alpha = 1 - ctg^2 \alpha + 2ctg^2 \alpha = 1 + ctg^2 \alpha$. Поскольку $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha}$, то тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.