Задача №1 (2 вариант): Известно, что $ctg \alpha = -\frac{4}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Найдите значения трех других тригонометрических функций угла $\alpha$.

Так как $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, угол $\alpha$ находится в четвертой четверти. В четвертой четверти косинус положителен, а синус отрицателен. 1. Найдем тангенс: $tg \alpha = \frac{1}{ctg \alpha} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}$. 2. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Также, $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = -\frac{4}{3}$, следовательно $cos \alpha = -\frac{4}{3} sin \alpha$. Подставляем в основное тождество: $\left(-\frac{4}{3} sin \alpha\right)^2 + sin^2 \alpha = 1$ $\frac{16}{9} sin^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1$ $\frac{25}{9} sin^2 \alpha = 1$ $sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$ $sin \alpha = \pm \frac{3}{5}$. Поскольку синус в четвертой четверти отрицательный, то $sin \alpha = -\frac{3}{5}$. 3. Теперь найдем косинус: $cos \alpha = -\frac{4}{3} sin \alpha = -\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$. Ответ: $tg \alpha = -\frac{3}{4}$, $cos \alpha = \frac{4}{5}$, $sin \alpha = -\frac{3}{5}$.