Задача №3 (1 вариант): Докажите тождество: $\frac{cos^4 \alpha - sin^4 \alpha}{(1 - sin \alpha)(1 + sin \alpha)} + 2tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}$.

Преобразуем левую часть выражения: $\frac{cos^4 \alpha - sin^4 \alpha}{(1 - sin \alpha)(1 + sin \alpha)} + 2tg^2 \alpha = \frac{(cos^2 \alpha - sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha + sin^2 \alpha)}{1 - sin^2 \alpha} + 2tg^2 \alpha = \frac{(cos^2 \alpha - sin^2 \alpha) \cdot 1}{cos^2 \alpha} + 2tg^2 \alpha = \frac{cos^2 \alpha - sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} + 2tg^2 \alpha = 1 - \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} + 2tg^2 \alpha = 1 - tg^2 \alpha + 2tg^2 \alpha = 1 + tg^2 \alpha$. Поскольку $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}$, то тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.