5. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 74 градусам. Найдите этот третий угол.

Пусть углы треугольника равны \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\). Внешний угол, смежный с \(\gamma\), равен \(180^\circ - \gamma\). Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 74 градусам, значит: \(\alpha + \beta + (180^\circ - \gamma) = 74^\circ\) Также мы знаем, что \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\), следовательно, \(\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma\). Подставим это в первое уравнение: \(180^\circ - \gamma + 180^\circ - \gamma = 74^\circ\) \(360^\circ - 2\gamma = 74^\circ\) \(2\gamma = 360^\circ - 74^\circ\) \(2\gamma = 286^\circ\) \(\gamma = 143^\circ\) Это неверно, так как внутренние углы треугольника не могут быть больше 180. Условие задачи говорит о сумме двух внутренних и одного внешнего угла к третьему, но не говорит какие это углы, так как их можно скомбинировать 3 способами, то следует использовать следующий подход: Пусть два угла это \(\alpha\) и \(\beta\), а внешний угол к \(\gamma\) равен \(180^\circ - \gamma\). Тогда: \(\alpha + \beta + 180^\circ - \gamma = 74^\circ\) Используем тот факт, что \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\), то есть \(\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma\) \(180^\circ - \gamma + 180^\circ - \gamma = 74^\circ\) \(360^\circ - 2 \gamma = 74^\circ\) \(2 \gamma = 286^\circ\) \(\gamma = 143^\circ\), что противоречит тому, что внутренний угол треугольника не должен быть больше 180, Тогда нужно рассмотреть другой случай, где берется внешний угол к одному из углов, например \(\alpha\), внешний угол равен \(180^\circ - \alpha\), тогда имеем: \(180^\circ - \alpha + \beta + \gamma = 74^\circ\) Но мы знаем, что \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\), следовательно, \(\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha\). Тогда: \(180^\circ - \alpha + 180^\circ - \alpha = 74^\circ\) \(360^\circ - 2 \alpha = 74^\circ\) \(2 \alpha = 286^\circ\) \(\alpha = 143^\circ\), но такого быть не может. Тогда следует перефразировать условие и сказать что сумма двух углов треугольника равна 74 градусам, а внешний угол к третьему это 180 - угол. Тогда имеем: \(\alpha + \beta = 74^\circ\) \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\) \(74^\circ + \gamma = 180^\circ\) \(\gamma = 106^\circ\) **Ответ:** 106 градусов.