Задача 8: В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=146°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть AB = x, тогда AC = 2x. В параллелограмме ABCD, CD = AB = x. Рассмотрим треугольник ACD. ∠ACD = 146°. По теореме синусов: $\frac{CD}{\sin{\angle CAD}} = \frac{AC}{\sin{\angle ADC}}$. $\frac{x}{\sin{\angle CAD}} = \frac{2x}{\sin{\angle ADC}}$. $\sin{\angle ADC}} = 2\sin{\angle CAD}$. Пусть \angle CAD = α, тогда \angle ADC = 180° - \angle CAD - \angle ACD = 180° - α - 146° = 34° - α. Значит, $sin (34° - α) = 2 sin α$. Попробуем решить это уравнение. Если \angle CAD = 11° , то $\angle ADC = 34 - 11 = 23$. $\sin{(23)} = 0.39$, $\sin{(11)} * 2 = 0.38$. $\angle DAC = 11$. $\angle BAC = 180 - 34 = 146$. ∠ DAC = 11, ∠ BCA = 180 - ∠CDA -∠DAC= 146, следовательно, Δ CDA подобен Δ CAB. Угол между диагоналями $\angle AKD = 180 - \angle KAD - \angle ADK = 180 - 11 - 23 = 146$. Угол между диагоналями = 146. Ответ: 146