Задача 7: В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=168°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть AB = x, тогда AC = 2x. Так как ABCD - параллелограмм, CD = AB = x. Рассмотрим треугольник ACD. ∠ACD = 168°. Сумма углов треугольника равна 180°. Из теоремы синусов, $\frac{CD}{\sin{\angle CAD}} = \frac{AC}{\sin{\angle ADC}}$. $\frac{x}{\sin{\angle CAD}} = \frac{2x}{\sin{\angle ADC}}$.$\sin{\angle ADC}} = 2\sin{\angle CAD}$. $\angle ADC = 180 - α - 168. = 12 - \alpha$, подставляем $\sin{12 - \alpha} = 2\sin{\alpha}$. Получается, что \angle ACD = 168, $\alpha$ не может быть больше 12. Иначе значения синуса будут отрицательными. Допустим $\angle CAD = 4$. $\angle ADC = 8$. $\sin{8} = 2*\sin{4} = 0.139$. $sin{8}= 0.139$. $\angle DAC = 4$. Точка пересечения диагоналей K. $\angle AKD = 180 - \angle KAD - \angle ADK = 180 - 4 - 8 = 168$. $\angle AKD = 168$. Значит угол между диагоналями равен 168. Ответ: 168