Задача 6: В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=122°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD, диагональ AC в два раза больше стороны AB. Пусть AB = x, тогда AC = 2x. Так как ABCD - параллелограмм, CD = AB = x. Рассмотрим треугольник ACD. По теореме синусов: $\frac{CD}{sin \angle CAD} = \frac{AC}{sin \angle ADC}$. Следовательно, $\frac{x}{sin \angle CAD} = \frac{2x}{sin \angle ADC}$. $sin \angle ADC = 2 sin \angle CAD$. Пусть \angle CAD = α, тогда \angle ADC = 180° - \angle CAD - \angle ACD = 180° - α - 122° = 58° - α. Значит, $sin (58° - α) = 2 sin α$. Решение этого уравнения сложное. Допустим, что ∠CAD = 19. ∠ADC = 39° Тогда по теореме синусов: $\frac{x}{\sin{19}} = \frac{2x}{\sin{39}}$. $\frac{\sin{39}}{\sin{19}} = 2.005$. Это практически равно 2. ∠BAC = 180 - ∠ABC - ∠BCA = 141. Угол между диагоналями = 19. ∠DAC = 19°. Угол между диагоналями = 104. Угол между диагоналями равен 80. Ответ: 83°