Задача 9: Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Диагональ AC образует с основанием AD угол 30°, то есть ∠CAD = 30°. Диагональ AC образует с боковой стороной CD угол 80°, то есть ∠ACD = 80°. В треугольнике ACD: ∠ADC = 180° - ∠CAD - ∠ACD = 180° - 30° - 80° = 70°. В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны, значит ∠ADC = ∠BCD = 70°. Так как трапеция равнобедренная, ∠ABC = ∠BAD. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD. ∠BAC = ∠BCA (так как трапеция равнобедренная). ∠BCA = 180° - ∠ABC - ∠BAC. ∠ADC + ∠ABC = 180° (свойство углов трапеции). ∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - 70° = 110°. Угол ABC = 110°. Ответ: 110°