Задача 13: Найдите меньший угол равнобедренной трапеции АBCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Пусть ∠BCA = 30°, ∠ACD = 105°. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 30° + 105° = 135°. В равнобедренной трапеции ∠ABC = ∠BCD = 135°. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. ∠ADC + ∠BCD = 180°. ∠ADC = 180° - ∠BCD = 180° - 135° = 45°. Так как трапеция равнобедренная, ∠BAD = ∠ADC = 45°. Меньший угол трапеции равен 45°. Ответ: 45°