Вариант I. 3. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60°.

Пусть дана сторона прямоугольника \(a = 5\) см. Обозначим половину диагонали как \(d\), а угол между диагоналями как \(\alpha = 60^{\circ}\). Угол между диагоналями образует равнобедренный треугольник, где угол между диагоналями равен 60 градусам, что означает, что этот треугольник равносторонний, поэтому диагонали равны между собой. Значит, диагональ равна \(d = a\). Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Если через \(b\) обозначить вторую сторону прямоугольника, то \(d^2 = a^2 + b^2\). Подставим значения и получим \(a^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(90 - \frac{\alpha}{2})\) и \(d^2 = a^2 + b^2\) используем то, что \(d = a\). Далее, \(a^2 = 5^2 + b^2\) и \(b = a\cdot \tan(30^{\circ})\). Значит \(b = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\). Площадь прямоугольника равна \(S = a \cdot b = 5 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{25\sqrt{3}}{3} \). Площадь равна \(\frac{25\sqrt{3}}{3} \approx 14.43\). Ответ: Площадь прямоугольника \(\frac{25\sqrt{3}}{3}\) см².