121. а) Баржа прошла по течению реки 45 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

**Решение:** 1. **Пусть (v) - собственная скорость баржи.** 2. **Время движения по течению:** (t_1 = \frac{45}{v + 3}) 3. **Время движения против течения:** (t_2 = \frac{42}{v - 3}) 4. **Общее время:** (t_1 + t_2 = 6) 5. **Уравнение:** \[\frac{45}{v + 3} + \frac{42}{v - 3} = 6\] 6. **Решение уравнения:** \[45(v - 3) + 42(v + 3) = 6(v^2 - 9)\] \[45v - 135 + 42v + 126 = 6v^2 - 54\] \[87v - 9 = 6v^2 - 54\] \[6v^2 - 87v - 45 = 0\] \[2v^2 - 29v - 15 = 0\] 7. **Решение квадратного уравнения:** \[D = (-29)^2 - 4 * 2 * (-15) = 841 + 120 = 961\] \[v = \frac{29 \pm \sqrt{961}}{4} = \frac{29 \pm 31}{4}\] 8. **Находим корни:** \[v_1 = \frac{29 + 31}{4} = \frac{60}{4} = 15\] \[v_2 = \frac{29 - 31}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\] Отрицательный корень не подходит. **Ответ:** Собственная скорость баржи равна 15 км/ч.