Вариант 1, Задача 3: В треугольнике ABC \(\angle B = 45^\circ\), высота AN делит сторону BC на отрезки BN = 8 см и NC = 6 см. Найдите площадь треугольника ABC и сторону AC.

Решение: Так как \(\angle B = 45^\circ\) и AN - высота, то треугольник ABN прямоугольный и равнобедренный (т.к. \(\angle BAN = 45^\circ\)). Следовательно, AN = BN = 8 см. Площадь треугольника ABC: \(S = \frac{1}{2} * BC * AN = \frac{1}{2} * (8 + 6) * 8 = \frac{1}{2} * 14 * 8 = 56\). Для нахождения стороны AC используем теорему Пифагора в треугольнике ANC: \(AC^2 = AN^2 + NC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\). Значит, \(AC = \sqrt{100} = 10\). Ответ: Площадь равна 56 кв. см, сторона AC равна 10 см.