9. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а один катет на 7 см больше другого. Найдите площадь треугольника.

Пусть a - один катет, b - другой катет, тогда b = a + 7. Гипотенуза c = 13 см. По теореме Пифагора: \(a^2 + (a + 7)^2 = 13^2\). \(a^2 + a^2 + 14a + 49 = 169\). \(2a^2 + 14a - 120 = 0\). \(a^2 + 7a - 60 = 0\). Решаем квадратное уравнение: \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289\). \(a = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}\). \(a_1 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5\), \(a_2 = \frac{-7 - 17}{2} = -12\) (не подходит, т.к. длина не может быть отрицательной). Значит, a = 5 см, b = 5 + 7 = 12 см. Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\) кв. см. Ответ: Площадь треугольника равна 30 кв. см.