Найдите производную функции: 7) y = √x * (x^4 + 2)

Чтобы найти производную функции ( y = \sqrt{x} \cdot (x^4 + 2) ), используем правило произведения: ( (uv)' = u'v + uv' ), где ( u = \sqrt{x} ) и ( v = x^4 + 2 ). Шаг 1: Найдем производную ( u = \sqrt{x} ). ( u' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} ). Шаг 2: Найдем производную ( v = x^4 + 2 ). ( v' = (x^4 + 2)' = 4x^3 ). Шаг 3: Применим правило произведения. ( y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x^4 + 2) + \sqrt{x}(4x^3) ). Шаг 4: Упростим выражение. ( y' = \frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}} + 4x^3\sqrt{x} = \frac{x^4 + 2 + 8x^4}{2\sqrt{x}} = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}} ). Ответ: ( y' = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}} ).