C-30. II Вариант. 3. Докажите равенство (tg(α + 7π) + 1)(ctg(-α) + 1) / (tg(-α) + 1)(ctg(α) + 1) = -1, для тех α, для которых определена левая часть равенства.

Для доказательства этого равенства мы будем использовать свойства тригонометрических функций: 1. **tg(α + 7π) = tg(α + π) = tg(α)** - периодичность тангенса (период равен π) 2. **ctg(-α) = -ctg(α)** - свойство нечетности котангенса 3. **tg(-α) = -tg(α)** - свойство нечетности тангенса Теперь подставим эти свойства в исходное выражение: ((tg(α) + 1)(-ctg(α) + 1)) / ((-tg(α) + 1)(ctg(α) + 1)) = - (tg(α) + 1)(ctg(α) - 1) / ((tg(α) - 1)(ctg(α) + 1)) = - (tg(α) * ctg(α) - tg(α) + ctg(α) - 1) / (tg(α) * ctg(α) + tg(α) - ctg(α) - 1) = -(1 - tg(α) + ctg(α) - 1) / (1 + tg(α) - ctg(α) - 1) = -(-tg(α) + ctg(α)) / (tg(α) - ctg(α)) = (tg(α) - ctg(α)) / (tg(α) - ctg(α)) = -1 **Таким образом, равенство доказано**.