C-30. I Вариант. 3. Докажите равенство (tg(-α) - 1)(ctg(α + 5π) – 1) / (tg(α – 4π) – 1)(ctg(-α) – 1) = -1, для тех α, для которых определена левая часть равенства.

Для доказательства этого равенства мы будем использовать свойства тригонометрических функций: 1. **tg(-α) = -tg(α)** - свойство нечетности тангенса 2. **ctg(α + 5π) = ctg(α + π) = ctg(α)** - периодичность котангенса (период равен π) 3. **tg(α – 4π) = tg(α)** - периодичность тангенса (период равен π) 4. **ctg(-α) = -ctg(α)** - свойство нечетности котангенса Теперь подставим эти свойства в исходное выражение: ((-tg(α) - 1)(ctg(α) – 1)) / ((tg(α) - 1)(-ctg(α) – 1)) = - (tg(α) + 1)(ctg(α) – 1) / ((tg(α) - 1)(ctg(α) + 1)) = -(tg(α) * ctg(α) - tg(α) + ctg(α) -1 ) / (tg(α)*ctg(α) + tg(α) - ctg(α) - 1) = -(1 - tg(α) + ctg(α) -1) / (1 + tg(α) - ctg(α) - 1) = -(- tg(α) + ctg(α) ) / (tg(α) - ctg(α) ) = (tg(α) - ctg(α)) / (tg(α) - ctg(α)) = -1 **Таким образом, равенство доказано**.