ЗАДАНИЕ 10. В начале урока по геометрии Дима нарисовал равносторонний треугольник и через минуту начертил в нём перпендикуляр из середины одной стороны равностороннего треугольника к другой стороне. Ещё через минуту из основания перпендикуляра на второй стороне Дима опустил перпендикуляр на третью сторону, а спустя ещё минуту из основания перпендикуляра на третьей стороне он провёл перпендикуляр снова на первую сторону и так далее каждую минуту. Дима решил продолжать так делать весь урок геометрии. Что произойдёт раньше: Дима попадёт в точку на стороне равностороннего треугольника, в которой уже был, или закончится урок по геометрии?

Ответ: Дима никогда не попадет в точку, в которой уже был, и может продолжать строить перпендикуляры бесконечно. Это происходит потому что каждый раз, когда Дима строит новый перпендикуляр, он приближается к центру треугольника, но никогда не достигает его. Когда Дима проводит перпендикуляр из середины стороны к другой стороне, то этот перпендикуляр является высотой треугольника. Все высоты пересекаются в одной точке - ортоцентре треугольника. В случае равностороннего треугольника, ортоцентр также является центром масс, центром вписанной окружности и центром описанной окружности. С каждым новым перпендикуляром Дима будет все ближе к центру, но никогда не достигнет его.