ЗАДАНИЕ 7. Докажите свойство прямоугольного треугольника с углом 30°, используя свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе.

Свойство: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \(\angle\) C = 90°, \(\angle\) A = 30°. Тогда \(\angle\) B = 60°. Проведём медиану CM к гипотенузе AB. Известно, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы, то есть CM = \(\frac{1}{2}\)AB. Также AM = MB = CM = \(\frac{1}{2}\)AB. Следовательно, треугольник AMC - равнобедренный, и \(\angle\) MAC = \(\angle\) MCA = 30°. Тогда \(\angle\) MCB = \(\angle\) ACB - \(\angle\) MCA = 90° - 30° = 60°. В треугольнике CMB: CM = MB, следовательно, \(\angle\) MCB = \(\angle\) MBC = 60°. Значит, треугольник CMB - равносторонний, и CM = MB = BC. Так как CM = \(\frac{1}{2}\)AB, то BC = \(\frac{1}{2}\)AB. Таким образом, катет BC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AB.