ЗАДАНИЕ 8. Докажите свойство прямоугольного треугольника с катетом, равным половине гипотенузы, используя свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе.

Свойство: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \(\angle\) C = 90°, BC = \(\frac{1}{2}\)AB. Нужно доказать, что \(\angle\) A = 30°. Проведём медиану CM к гипотенузе AB. Тогда CM = \(\frac{1}{2}\)AB, и AM = MB = CM = \(\frac{1}{2}\)AB. Так как BC = \(\frac{1}{2}\)AB, то BC = CM = MB. Следовательно, треугольник CMB - равносторонний, и \(\angle\) CMB = \(\angle\) MBC = \(\angle\) BCM = 60°. В треугольнике AMC: AM = CM, следовательно, \(\angle\) MAC = \(\angle\) MCA. Также \(\angle\) AMC = 180° - \(\angle\) CMB = 180° - 60° = 120°. Тогда \(\angle\) MAC + \(\angle\) MCA = 180° - \(\angle\) AMC = 180° - 120° = 60°. Следовательно, \(\angle\) MAC = \(\angle\) MCA = \(\frac{60}{2}\) = 30°. Таким образом, \(\angle\) A = 30°.