ЗАДАНИЕ 11. Докажите, что медианы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Доказательство: В равностороннем треугольнике все медианы являются также высотами и биссектрисами. Пусть ABC — равносторонний треугольник, а O — точка пересечения медиан (и высот). Рассмотрим медиану AD. Так как AD является и высотой, то \(\angle\) ADB = 90°. Треугольник ABD является прямоугольным. В равностороннем треугольнике медианы равны, и точка их пересечения делит каждую в одном и том же отношении. Поэтому достаточно рассмотреть одну медиану AD. Так как треугольник ABC равносторонний, то \(\angle\) BAC = 60°. Следовательно, \(\angle\) BAD = 30° (так как AD — биссектриса). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Имеем \(tg 30° = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) ⇒ \(AD = BD \sqrt{3}\). Известно, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, то есть AO : OD = 2 : 1. Значит, AO = 2 * OD, и AD = AO + OD = 2 * OD + OD = 3 * OD. Следовательно, OD = \(\frac{1}{3}\)AD. Так как AO = AD - OD, то AO = AD - \(\frac{1}{3}\)AD = \(\frac{2}{3}\)AD. Таким образом, AO : OD = \(\frac{2}{3}\)AD : \(\frac{1}{3}\)AD = 2 : 1. Следовательно, медианы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины.