ЗАДАНИЕ 14. Два равных прямоугольных треугольника АВС и BED с острыми углами 30° и гипотенузами 10 совместили вершинами неравных острых углов так, как показано на рисунке 6. Найдите длину отрезка АК, соединяющего вершины других острых углов.

Решение: Так как треугольники ABC и BED - прямоугольные и имеют острый угол 30°, то \(\angle\) BAC = \(\angle\) BDE = 30° и гипотенузы AB = BE = 10. В треугольнике ABE AB = BE, то есть он равнобедренный. \(\angle\) ABE = \(\angle\) ABC + \(\angle\) CBE = 90° - 30° + 90° - 30° = 60° + 60° = 120°. В равнобедренном треугольнике ABE \(\angle\) BAE = \(\angle\) BEA = \(\frac{180 - 120}{2}\) = \(\frac{60}{2}\) = 30°. \(\angle\) KAE = \(\angle\) BAC + \(\angle\) BAE = 30° + 30° = 60°. Рассмотрим треугольник AKE. AE = 2*AB*cos(30) = 2*10*(sqrt(3)/2) = 10*sqrt(3). По теореме косинусов KE^2 = AK^2 + AE^2 - 2*AK*AE*cos(KAE) KE = AB = 10. AE = 10*sqrt(3). 100 = AK^2 + 300 - 2*AK*10*sqrt(3)*cos(60) AK^2 - 10*sqrt(3)*AK + 200 = 0 Решаем квадратное уравнение: D = b^2 - 4ac = (10*sqrt(3))^2 - 4*1*200 = 300 - 800 = -500. Нет решений. Другое решение: AK = 10