ЗАДАНИЕ 12. Катет прямоугольного треугольника равен 4, а гипотенуза — 8. Найдите длины отрезков, на которые делится гипотенуза его высотой.

Решение: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \(\angle\) C = 90°, BC = 4, AB = 8. Проведём высоту CD к гипотенузе AB. Нужно найти длины отрезков AD и DB. В прямоугольном треугольнике, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°, то есть \(\angle\) A = 30°. Тогда \(\angle\) B = 90° - \(\angle\) A = 90° - 30° = 60°. В треугольнике BCD: \(\angle\) CDB = 90°, \(\angle\) B = 60°, следовательно, \(\angle\) BCD = 90° - 60° = 30°. Тогда BD = \(\frac{1}{2}\)BC (так как BD - катет, лежащий против угла 30° в треугольнике BCD). Следовательно, BD = \(\frac{1}{2}\) * 4 = 2. Тогда AD = AB - BD = 8 - 2 = 6. Ответ: Длина отрезка AD равна 6, длина отрезка DB равна 2.