ЗАДАНИЕ 6. Сформулируйте и докажите свойство катета прямоугольного треугольника с углом 60°.

Свойство: В прямоугольном треугольнике с углом 60° катет, лежащий против этого угла, равен гипотенузе, умноженной на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \(\angle\) C = 90°, \(\angle\) B = 60°. Тогда \(\angle\) A = 30°. Пусть BC = a (катет, лежащий против угла 30°), AC = b (катет, лежащий против угла 60°), AB = c (гипотенуза). Из определения синуса угла: sin(B) = \(\frac{AC}{AB}\) = \(\frac{b}{c}\). Так как \(\angle\) B = 60°, то sin(60°) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, \(\frac{b}{c}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда b = c * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким образом, катет AC, лежащий против угла 60°, равен гипотенузе AB, умноженной на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).