Найдите производную функции: 7) y = √x ⋅ (x³ + 2)

Чтобы найти производную функции y = √x * (x³ + 2), сначала перепишем √x как x^(1/2) и применим правило произведения: 1. **Правило произведения:** Если y = u(x)v(x), то y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) Определим u(x) и v(x): * u(x) = x^(1/2) * v(x) = x³ + 2 Найдем производные u'(x) и v'(x): * u'(x) = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x) * v'(x) = 3x² Теперь применим правило произведения: \( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} (x^3 + 2) + \sqrt{x} (3x^2) \) \( y' = \frac{x^3 + 2}{2\sqrt{x}} + 3x^2\sqrt{x} \) Чтобы упростить выражение, приведем к общему знаменателю: \( y' = \frac{x^3 + 2 + 6x^3}{2\sqrt{x}} \) \( y' = \frac{7x^3 + 2}{2\sqrt{x}} \) **Ответ:** \( y' = \frac{7x^3 + 2}{2\sqrt{x}} \)