12. Катер в 10.00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от пункта А. Пробыв в пункте В 4 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18.00. Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

Решение: Пусть \(v\) - собственная скорость катера. Время в пути из А в В и обратно равно \(18:00 - 10:00 - 4:00 = 4\) часа. Время в пути из А в В: \(t_1 = \frac{15}{v+2}\). Время в пути из В в А: \(t_2 = \frac{15}{v-2}\). \(t_1 + t_2 = 4\) \(\frac{15}{v+2} + \frac{15}{v-2} = 4\) Умножим обе части на \((v+2)(v-2)\): \(15(v-2) + 15(v+2) = 4(v^2 - 4)\) \(15v - 30 + 15v + 30 = 4v^2 - 16\) \(30v = 4v^2 - 16\) \(4v^2 - 30v - 16 = 0\) \(2v^2 - 15v - 8 = 0\) Решим квадратное уравнение: \(D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289 = 17^2\) \(v_1 = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8\) \(v_2 = \frac{15 - 17}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\) - не подходит, так как скорость не может быть отрицательной. Ответ: v = 8 км/ч