ВАРИАНТ 1. 2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите: 1) BA · AC, 2) BM · AM.

1) $\vec{BA}\cdot\vec{AC}$. Из рисунка видно, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B. Длина BA равна 8, AC равна 10. Угол между векторами BA и AC не прямой, а значит мы должны использовать косинус. По теореме косинусов $\vec{BA} \cdot \vec{AC} = |BA|\cdot |AC| \cdot cos(∠BAC)$. Угол BAC мы можем получить при помощи косинуса этого угла из прямоугольного треугольника $\cos(∠BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Тогда $\vec{BA} \cdot \vec{AC} = 8 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 64$. 2) $\vec{BM}\cdot\vec{AM}$. Точка M является серединой отрезка AC. Для этого задания нам нужно найти длину BM. Рассмотрим треугольник ABM. Нам известны AB=8, AM=5 (AC/2=10/2). Найти BM можно по теореме косинусов. Угол BAC имеет косинус 4/5, значит синус равен $\sqrt{1-(4/5)^2} = \sqrt{1-16/25} = \sqrt{9/25} = 3/5$. По теореме синусов в треугольнике ABM: $\frac{BM}{\sin(∠BAM)} = \frac{AM}{\sin(∠ABM)}$. То есть $\frac{BM}{3/5} = \frac{5}{\sin(∠ABM)}$. Но проще воспользоваться теоремой медианы: $\vec{BM}^2 = \frac{2*\vec{AB}^2 + 2*\vec{BC}^2 - \vec{AC}^2}{4}$ Так как BC у нас равен $\sqrt{AC^2-AB^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ то $\vec{BM}^2 = \frac{2*64 + 2*36 - 100}{4} = \frac{128+72-100}{4} = 25$, а значит BM = 5. Вектор $\vec{BM}$ направлен от B к M, а вектор $\vec{AM}$ направлен от A к M. Между ними есть какой-то угол. Здесь мы также не можем определить точно скалярное произведение, так как угол между векторами не 0, 90 или 180 градусов. Поскольку мы не знаем угол, воспользуемся правилом, что вектор AM будет равен половине вектора AC, следовательно $\vec{BM} * (\vec{AC}/2) = \frac{1}{2}\vec{BM} \cdot \vec{AC}$. Угол между векторами BM и AC нам неизвестен. Также как и AM. Это означает, что мы не можем найти скалярное произведение. Поскольку из условия мы не можем найти угол между векторами, скалярное произведение найти не получится.