5) Объём конуса, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, равен 3. Найдите объём конуса, описанного около этой пирамиды.

5) Пусть $V_{впис}$ - объем вписанного конуса, а $V_{опис}$ - объем описанного конуса. Радиус основания вписанного конуса $r = a/2$, где $a$ - сторона основания пирамиды. Радиус основания описанного конуса $R = (a\sqrt{2})/2$. Высота у конусов одинаковая и равна высоте пирамиды, обозначим ее за $h$. $V_{впис} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (a/2)^2 h = \frac{1}{12} \pi a^2 h = 3$. $V_{опис} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi ((a\sqrt{2})/2)^2 h = \frac{1}{3} \pi (2a^2/4) h = \frac{1}{6} \pi a^2 h = 2 \cdot \frac{1}{12} \pi a^2 h = 2 \cdot 3 = 6$. Ответ: 6.