665. Найдите натуральное число, квадрат которого равен сумме кубов двух последовательных натуральных чисел.

Пусть искомое число x. Пусть два последовательных числа n и n+1. Тогда имеем уравнение: (x^2 = n^3 + (n+1)^3) (x^2 = n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1) (x^2 = 2n^3 + 3n^2 + 3n + 1) (x^2 = (n+1)^2(2n-1) + 2(n+1)^2 - 2n^2 - 2n - 1) Попробуем несколько натуральных чисел для n: n = 1: (1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9 = 3^2), x = 3 n = 2: (2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35) - не является квадратом n = 3: (3^3 + 4^3 = 27 + 64 = 91) - не является квадратом n = 4: (4^3 + 5^3 = 64 + 125 = 189) - не является квадратом n = 5: (5^3 + 6^3 = 125 + 216 = 341) - не является квадратом Таким образом, число x = 3, n = 1. Ответ: 3