8. Докажите, что если последовательность (xn) является арифметической прогрессией, то x₄ + xₙ₋₄ = x₆ + xₙ₋₆.

В арифметической прогрессии каждый член можно выразить через первый член a₁ и разность d. $$x_n = a_1 + (n - 1)d$$ $$x_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$$ $$x_{n-4} = a_1 + (n-4-1)d = a_1 + (n-5)d$$ $$x_4 + x_{n-4} = (a_1 + 3d) + (a_1 + (n-5)d) = 2a_1 + (n-2)d$$ $$x_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$$ $$x_{n-6} = a_1 + (n-6-1)d = a_1 + (n-7)d$$ $$x_6 + x_{n-6} = (a_1 + 5d) + (a_1 + (n-7)d) = 2a_1 + (n-2)d$$ Так как x₄ + xₙ₋₄ = 2a₁ + (n-2)d и x₆ + xₙ₋₆ = 2a₁ + (n-2)d, то равенство доказано. Ответ: Равенство x₄ + xₙ₋₄ = x₆ + xₙ₋₆ доказано.