ВАРИАНТ 4, Задача 4*: Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Перпендикуляр AM, опущенный на диагональ BD, разбивает отрезок OB на части: OM = 24 см и BM = 6 см. Чему равны перпендикуляр AM и сторона AB?

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. По условию OM = 24, BM = 6. Тогда OB = OM + BM = 24 + 6 = 30 см. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. То есть OB=OD=OA=OC=30. В прямоугольном треугольнике OAM по теореме пифагора можно найти AM, так как ОМ =24, ОА=30. \( AM^2 = OA^2 - OM^2 \). \( AM^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324 \). \( AM = \sqrt{324} = 18 \). Теперь найдем АВ. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. BM=6, AM=18. \( AB^2 = AM^2 + BM^2 \) . \( AB^2 = 18^2 + 6^2 \). \( AB^2 = 324 + 36 = 360 \). \( AB = \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \). Перпендикуляр AM равен 18 см, а сторона AB равна \( 6\sqrt{10} \) см.