ВАРИАНТ 3, Задача 4*: В равнобедренной трапеции ABCD большее основание AD равно диагонали. Высота BM разбивает основание AD на отрезки AM = 6 см и MD = 9 см. Найдите высоту и боковую сторону.

Поскольку трапеция равнобедренная, проекции боковых сторон на большее основание равны. Так как AM = 6 см и MD = 9 см, то AD = AM + MD = 6 + 9 = 15 см. В равнобедренной трапеции диагональ равна боковой стороне, поэтому АС = AD = 15 см. Рассмотрим треугольник АВМ. AM = 6 см, а диагональ равна AD=15 см, в равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Высоту найдем из прямоугольного треугольника АВМ, где АМ - проекция боковой стороны, а АВ диагональ. Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то \(AB = CD\) и \(BM\) перпендикулярно \(AD\). То есть рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ. Но нам надо найти высоту ВМ. Из условия диагональ равна большему основанию, поэтому сторона АВ=15. АМ=6. тогда по теореме пифагора получаем \( AB^2= AM^2+BM^2 \). \( 15^2 = 6^2 + BM^2 \). \( 225=36+BM^2 \). \( BM^2 = 189 \). \( BM = \sqrt{189}=3\sqrt{21} \). Высота равна \(3\sqrt{21}\) см.