Вариант 2, задача 1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C. Доказать: ΔАВО = ΔCDO.

1. Рассмотрим треугольники ΔАВО и ΔCDO. 2. Дано по условию: AB = CD. 3. ∠AOC = ∠BOD как вертикальные углы. Так как ∠AOC = 110°, то ∠BOD = 110°. 4. Рассмотрим четырехугольник ОВСD. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Известны три угла, вычислим четвертый: ∠OBC + ∠BCD + ∠CDO + ∠DOB = 360°. Подставляем известные значения: 65° + ∠BCD + 45° + 110° = 360°. Отсюда, ∠BCD = 360° - 220° = 140°. 5. Таким образом, ∠C = ∠BCD = 140°. 6. По условию AB = CD, но этого недостаточно для доказательства равенства треугольников. В условии не хватает равенства углов или сторон. Мы можем доказать равенство ΔАВО = ΔCDO, если ∠BAO=∠DCO, а это не так, т.к. ∠ABO = 65°, а ∠CDO = 45° . Также для равенства треугольников нужна дополнительная информация, например AO=CO. Скорее всего, в условии опечатка, и следует доказать подобие треугольников, а не равенство. **Ответ:** ∠C = 140°. **Примечание:** Условие не позволяет доказать равенство треугольников без дополнительной информации. Скорее всего, была опечатка в условии задания, и требовалось доказать подобие треугольников, либо были даны другие данные, позволяющие это доказать.