Вариант 1, задача 4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, МЕ = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

а) 1. Рассмотрим треугольник ΔEPM. Он прямоугольный с ∠EPM = 90°. 2. Известно, что ∠MEP = 30°, и МЕ = 10 см. 3. В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, значит MP = 1/2 ME , то есть MP = 10/2 = 5 см. 4. По теореме Пифагора, найдем длину EP: EP² = ME² - MP² = 10² - 5² = 100 - 25 = 75. 5. EP = √75. Поскольку √64 = 8, а √81 = 9, то 8 < √75 < 9. 6. Значит, длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9. б) 1. Медиана PD делит гипотенузу ME пополам, значит MD = DE = 5 см. 2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, PD = 1/2 ME. 3. Поскольку ME = 10 см, то PD = 10 / 2 = 5 см. **Ответ:** а) Длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9. б) Длина медианы PD равна 5 см.