Вариант 2, задача 3: В равнобедренном треугольнике КМС на высоте СН, проведенной к основанию КМ, отмечена точка В. Докажите, что точка В равноудалена от прямых КС и МС.

Поскольку CH - высота, проведенная к основанию KM равнобедренного треугольника KMC, то CH также является медианой и биссектрисой угла C. Значит, \(\angle KCH = \angle MCH\). Пусть BD и BE - перпендикуляры, опущенные из точки B на прямые KC и MC соответственно. Рассмотрим прямоугольные треугольники BDC и BEC. У них BC - общая гипотенуза, и \(\angle DCB = \angle ECB\) (так как CH - биссектриса угла C). Значит, треугольники BDC и BEC равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, BD = BE. Это означает, что точка B равноудалена от прямых KC и MC.