Вариант 1, задача 3: В равнобедренном треугольнике АВС на медиане АО, проведенной к основанию ВС, отмечена точка К. Докажите, что точка К равноудалена от прямых АВ и АС.

Так как AO - медиана, проведенная к основанию BC равнобедренного треугольника ABC, то AO также является и высотой, и биссектрисой угла A. То есть, AO ⊥ BC и \(\angle BAO = \angle CAO\). Пусть KD и KE - перпендикуляры, опущенные из точки K на прямые AB и AC соответственно. Рассмотрим прямоугольные треугольники ADK и AEK. У них AK - общая гипотенуза, и \(\angle DAK = \angle EAK\) (так как AO - биссектриса угла A). Значит, треугольники ADK и AEK равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, KD = KE. Это означает, что точка K равноудалена от прямых AB и AC.