82. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 82, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

**Решение:** 1. **Определение вида треугольника:** Так как один из острых углов равен 45°, а сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то второй острый угол тоже равен 45°. Следовательно, треугольник равнобедренный. 2. **Найдем катеты:** В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Пусть катет равен *a*. По теореме Пифагора: (a^2 + a^2 = 82^2) (2a^2 = 6724) (a^2 = 3362) (a = \sqrt{3362}) 3. **Найдем площадь:** Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: (S = \frac{1}{2} * a * a) (S = \frac{1}{2} * a^2) (S = \frac{1}{2} * 3362) (S = 1681) **Ответ:** Площадь треугольника равна 1681.