8. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 75, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна \(9\sqrt{69}\). Найдите sin ∠ABC.

Обозначим угол ABC как β. Тогда \(sinβ = \frac{AC}{AB}\). Нам известна длина катета AC, но нужно найти длину гипотенузы AB. Сначала найдем площадь треугольника ABC двумя способами. 1) Через катет AC и катет BC: \(S = \frac{1}{2} * AC * BC\) 2) Через гипотенузу AB и высоту CH: \(S = \frac{1}{2} * AB * CH\) Приравняем оба выражения для площади: \(\frac{1}{2} * AC * BC = \frac{1}{2} * AB * CH\) \(AC * BC = AB * CH\) Выразим BC из теоремы Пифагора: \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{AB^2 - 75^2}\) Подставим в равенство для площадей: \(75 * \sqrt{AB^2 - 75^2} = AB * 9\sqrt{69}\) Возведем обе части уравнения в квадрат: \(75^2 * (AB^2 - 75^2) = AB^2 * 81 * 69\) \(5625 * AB^2 - 5625 * 5625 = 5589 * AB^2\) \(5625 * AB^2 - 31640625 = 5589 * AB^2\) \(36 * AB^2 = 31640625\) \(AB^2 = \frac{31640625}{36}\) \(AB = \sqrt{\frac{31640625}{36}} = \frac{5625}{6} = \frac{1875}{2}\) \(sinβ = \frac{AC}{AB} = \frac{75}{\frac{1875}{2}} = \frac{75 * 2}{1875} = \frac{150}{1875} = \frac{2}{25} = 0.08\) Ответ: sin∠ABC = 0.08.