57. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=36, MN=27. Площадь треугольника ABC равна 96. Найдите площадь треугольника MBN.

**Решение:** 1. **Подобие треугольников:** Так как MN || AC, треугольники MBN и ABC подобны. 2. **Отношение сторон:** Запишем отношение соответствующих сторон: \[\frac{MN}{AC} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}\] 3. **Отношение площадей:** Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (отношения соответствующих сторон). \[\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{MN}{AC}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\] 4. **Площадь треугольника MBN:** Подставим значение \(S_{ABC} = 96\) и найдем площадь треугольника MBN: \[S_{MBN} = S_{ABC} \cdot \frac{9}{16} = 96 \cdot \frac{9}{16} = 6 \cdot 9 = 54\] **Ответ:** Площадь треугольника MBN равна 54.