690. Найти пятый член геометрической прогрессии $b_1, b_2, ..., b_n, ...$, если $b_2 - b_1 = 18, b_3 - b_1 = 42$.

Решение: Пусть $b_1$ - первый член геометрической прогрессии, $q$ - знаменатель прогрессии. Тогда $b_2 = b_1q$, $b_3 = b_1q^2$. Из условия задачи имеем: $\begin{cases} b_1q - b_1 = 18 \\ b_1q^2 - b_1 = 42 \end{cases}$ Вынесем $b_1$ за скобки: $\begin{cases} b_1(q - 1) = 18 \\ b_1(q^2 - 1) = 42 \end{cases}$ Разделим второе уравнение на первое: $\frac{b_1(q^2 - 1)}{b_1(q - 1)} = \frac{42}{18}$ $\frac{(q - 1)(q + 1)}{q - 1} = \frac{7}{3}$ $q + 1 = \frac{7}{3}$ $q = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}$ Подставим значение $q$ в первое уравнение: $b_1(\frac{4}{3} - 1) = 18$ $b_1(\frac{1}{3}) = 18$ $b_1 = 54$ Теперь найдем пятый член прогрессии: $b_5 = b_1q^4 = 54 \cdot (\frac{4}{3})^4 = 54 \cdot \frac{256}{81} = \frac{2 \cdot 256}{3} = \frac{512}{3}$. Ответ: $b_5 = \frac{512}{3}$.