Контрольная работа № 3. Функции и их свойства. Вариант 2. Задача 3: Постройте график функции y = -x² - 4x + 5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

**Решение:** 1. **Построение графика:** Функция y = -x² - 4x + 5 является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. * **Вершина параболы:** Координата x вершины: \[x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 * (-1)} = -2\] Координата y вершины: \[y_в = -(-2)^2 - 4 * (-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\] Вершина параболы: (-2; 9) * **Нули функции (точки пересечения с осью x):** Решим уравнение: \[-x^2 - 4x + 5 = 0\] Используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac \[D = (-4)^2 - 4 * (-1) * 5 = 16 + 20 = 36\] Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + √D}{2a} = \frac{4 + 6}{-2} = \frac{10}{-2} = -5\] \[x_2 = \frac{-b - √D}{2a} = \frac{4 - 6}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\] Нули функции: x = -5 и x = 1. * **Точка пересечения с осью y:** При x = 0, y = -0² - 4 * 0 + 5 = 5 Точка пересечения с осью y: (0; 5) 2. **Анализ графика:** а) **Область определения и область значения:** * Область определения: x ∈ (-∞; +∞) (все действительные числа), так как x может принимать любые значения. * Область значения: y ∈ (-∞; 9], так как наибольшее значение y равно 9 (вершина параболы), и парабола открыта вниз. б) **Нули функции:** * Нули функции: x = -5 и x = 1 (точки пересечения с осью x). в) **Промежутки знакопостоянства:** * y > 0 (функция положительна) при x ∈ (-5; 1) * y < 0 (функция отрицательна) при x ∈ (-∞; -5) ∪ (1; +∞) г) **Промежутки возрастания и убывания:** * Функция возрастает при x ∈ (-∞; -2) (до вершины параболы) * Функция убывает при x ∈ (-2; +∞) (после вершины параболы) д) **Наименьшее и наибольшее значения функции:** * Наибольшее значение функции: y = 9 (в вершине параболы при x = -2) * Наименьшего значения функция не имеет, так как она неограниченно убывает при x → +∞ и x → -∞. **Ответ:** * Область определения: x ∈ (-∞; +∞) * Область значения: y ∈ (-∞; 9] * Нули функции: x = -5 и x = 1 * y > 0 при x ∈ (-5; 1) * y < 0 при x ∈ (-∞; -5) ∪ (1; +∞) * Функция возрастает при x ∈ (-∞; -2) * Функция убывает при x ∈ (-2; +∞) * Наибольшее значение: y = 9 при x = -2 * Наименьшего значения нет.