Контрольная работа № 3. Функции и их свойства. Вариант 1. Задача 3: Постройте график функции y = x² + 4x - 5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

**Решение:** 1. **Построение графика:** Функция y = x² + 4x - 5 является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. * **Вершина параболы:** Координата x вершины: \[x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 * 1} = -2\] Координата y вершины: \[y_в = (-2)^2 + 4 * (-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9\] Вершина параболы: (-2; -9) * **Нули функции (точки пересечения с осью x):** Решим уравнение: \[x^2 + 4x - 5 = 0\] Используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac \[D = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36\] Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + √D}{2a} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - √D}{2a} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] Нули функции: x = 1 и x = -5. * **Точка пересечения с осью y:** При x = 0, y = 0² + 4 * 0 - 5 = -5 Точка пересечения с осью y: (0; -5) 2. **Анализ графика:** а) **Область определения и область значения:** * Область определения: x ∈ (-∞; +∞) (все действительные числа), так как x может принимать любые значения. * Область значения: y ∈ [-9; +∞), так как наименьшее значение y равно -9 (вершина параболы), и парабола открыта вверх. б) **Нули функции:** * Нули функции: x = 1 и x = -5 (точки пересечения с осью x). в) **Промежутки знакопостоянства:** * y > 0 (функция положительна) при x ∈ (-∞; -5) ∪ (1; +∞) * y < 0 (функция отрицательна) при x ∈ (-5; 1) г) **Промежутки возрастания и убывания:** * Функция убывает при x ∈ (-∞; -2) (до вершины параболы) * Функция возрастает при x ∈ (-2; +∞) (после вершины параболы) д) **Наименьшее и наибольшее значения функции:** * Наименьшее значение функции: y = -9 (в вершине параболы при x = -2) * Наибольшего значения функция не имеет, так как она неограниченно возрастает при x → +∞ и x → -∞. **Ответ:** * Область определения: x ∈ (-∞; +∞) * Область значения: y ∈ [-9; +∞) * Нули функции: x = 1 и x = -5 * y > 0 при x ∈ (-∞; -5) ∪ (1; +∞) * y < 0 при x ∈ (-5; 1) * Функция убывает при x ∈ (-∞; -2) * Функция возрастает при x ∈ (-2; +∞) * Наименьшее значение: y = -9 при x = -2 * Наибольшего значения нет.