Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Вопрос:
Карточка 6, задание 1. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Ответ:
Доказательство: Пусть дан параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁. Рассмотрим диагонали AC₁ и BD₁. Пусть O - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Точка O является серединой диагонали AC. Точка O₁ является серединой диагонали A₁C₁. Соединим точки O и O₁. По свойству параллелограмма, OO₁ - середина отрезка AC₁. Рассмотрим диагонали A₁C и BD₁. Точка пересечения этих диагоналей является серединами, по аналогии с доказанным выше, тогда эта точка будет точкой пересечения всех диагоналей. Следовательно, диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Похожие
- Карточка 1, задание 1. Сформулируйте аксиомы A1, A2 и A3 стереометрии.
- Карточка 1, задание 2. Докажите, что через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
- Карточка 1, задание 3. Плоскость α пересекает стороны AB и AC треугольника ABC соответственно в точках B₁ и C₁. Известно, что AB:B₁B=5:3, AC=15 см. Найдите AC₁.
- Карточка 2, задание 1. Сформулируйте определение параллельных прямой и плоскости. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак параллельности прямой и плоскости.
- Карточка 2, задание 2. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
- Карточка 2, задание 3. Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, C и середину ребра AD. Вычислите периметр сечения.
- Карточка 3, задание 1. Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак скрещивающихся прямых.
- Карточка 3, задание 2. Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
- Карточка 3, задание 3. Постройте сечение параллелепипеда ABCD A₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки A, C и M, где M — середина ребра A₁D₁.
- Карточка 4, задание 1. Сформулируйте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак параллельности двух плоскостей.
- Карточка 4, задание 2. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
- Карточка 4, задание 3. ABCD A₁B₁C₁D₁ — куб, ребро которого 4 см. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, D₁ и M, где M — середина ребра BC. Вычислите периметр сечения.
- Карточка 5, задание 1. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
- Карточка 5, задание 2. Докажите, что если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
- Карточка 5, задание 3. Параллельные плоскости α и β пересекают сторону AB угла BAC соответственно в точках A₁ и A₂, а сторону AC этого угла соответственно в точках B₁ и B₂. Найдите A₁A₂, если A₁A₂=6 см, AB₂:AB₁=3:2.
- Карточка 6, задание 1. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
- Карточка 6, задание 2. Докажите, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
- Карточка 6, задание 3. Точка C лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость, а через точки B и C — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B₁ и C₁. Найдите длину отрезка BB₁, если AC:CB=4:3, CC₁=8 см.
