Карточка 4, задание 3. ABCD A₁B₁C₁D₁ — куб, ребро которого 4 см. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, D₁ и M, где M — середина ребра BC. Вычислите периметр сечения.

1. Отмечаем точки A, D₁ и M. 2. Проведем прямую AD₁. Эта прямая лежит в плоскости AA₁D₁D. 3. Соединим точки D₁ и M. Это вторая сторона сечения, которая лежит в плоскости BB₁C₁C и CC₁D₁D. 4. Прямая DM лежит в плоскости ABCD. Продлеваем D₁M до пересечения с прямой AB, получаем точку K. 5. Соединяем точки A и K, получаем AK. 6. Сечением будет пятиугольник AD₁MK. 7. Вычислим стороны сечения: AD₁ = \(\sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}\). DM = \(\sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). D₁M = \(\sqrt{2^2+4^2+2^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\). AK = \( \frac{4}{2} * 4 = 8 \). KM = \( \sqrt{2^2+4^2}= 2\sqrt{5}\). 8. Периметр сечения равен P = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6} + 8.