Карточка 4, задание 2. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство: Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b. 1. Выберем на прямой b точку B. Через B проведем прямую b₁, параллельную a. Прямые b и b₁ определяют плоскость \(\beta\). 2. Докажем, что плоскость \(\beta\) параллельна прямой a. Прямая b₁ по построению параллельна a. Прямая b не параллельна a по определению скрещивающихся прямых. Значит, прямая a параллельна плоскости \(\beta\), т.к. a параллельна прямой b₁, лежащей в этой плоскости. 3. Докажем, что это единственная плоскость. Предположим, что есть еще одна плоскость \(\gamma\), проходящая через прямую b и параллельная прямой a. Тогда, взяв любую точку C на a, мы получим, что a || \(\gamma\) и b || \(\gamma\) через точку C. Это противоречит условию, так как через точку C можно провести только одну прямую, параллельную \(\beta\). Значит, плоскость \(\beta\) единственная.