11.4. а) Найдите сторону треугольника, если сумма прилежащих к ней углов равна 60°, а две другие стороны — 5 см и 3 см.

Пусть сторона, которую нужно найти, будет c, а два прилежащих к ней угла - A и B, такие что A + B = 60°. Тогда третий угол C = 180° - (A + B) = 180° - 60° = 120°. Стороны, противолежащие углам A и B, равны a = 3 и b = 5. Используем теорему синусов: $$a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)$$ Нам нужно найти c, поэтому используем соотношение: $$c / sin(C) = a / sin(A) = b / sin(B)$$ Поскольку у нас нет углов A и B, воспользуемся обобщенной теоремой синусов, связывающей площадь треугольника с двумя сторонами и углом между ними. Сначала найдем сторону c, используя теорему косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)$$ $$c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 * 3 * 5 * cos(120°)$$ $$c^2 = 9 + 25 - 30 * (-1/2)$$ $$c^2 = 34 + 15$$ $$c^2 = 49$$ $$c = 7$$ Ответ: Сторона треугольника равна 7 см.